Faktorisering

Faktorisera ett andragradspolynom

a (koefficient framför x²)

b (koefficient framför x)

c (konstant)

Faktoriserad form(x − 3)(x − 2)

Polynometx² − 5x + 6

Nollställen3, 2

Diskriminant0,25

Så räknar du steg för steg

Hitta nollställena genom att lösa x² − 5x + 6 = 0. Det gör du med pq-formeln.
Nollställen: x = 3 och x = 2
Skriv som faktorer: ett polynom med nollställena r₁ och r₂ kan skrivas som a(x − r₁)(x − r₂), vilket ger (x − 3)(x − 2)

Kontrollera genom att multiplicera ihop faktorerna igen – du ska få tillbaka polynomet. Faktoriserad form är användbar eftersom nollställena syns direkt, och eftersom en produkt är noll bara när någon faktor är noll.

Formel

ax² + bx + c = a(x − r₁)(x − r₂), där r₁ och r₂ är nollställena

Dina värden

a: 1
b: −5
c: 6
Diskriminant: 0,25
Nollställen: 3, 2

Faktoriserad form(x − 3)(x − 2)

Sambandet mellan nollställen och faktorer

Ett andragradspolynom med nollställena r₁ och r₂ kan alltid skrivas som a(x − r₁)(x − r₂). Faktoriseringen och nollställena är därför samma information i två former.

Det gör faktoriserad form användbar: en produkt är noll bara när någon faktor är noll, så nollställena kan läsas av direkt.

Exempel

Faktorisera x² − 5x + 6:

Hitta nollställena genom att lösa x² − 5x + 6 = 0 med pq-formeln
Nollställen: x = 3 och x = 2
Skriv som faktorer: (x − 3)(x − 2)
Kontroll: multiplicera ihop och du får x² − 5x + 6 tillbaka

När det inte går

Är diskriminanten negativ saknar polynomet reella nollställen, och då går det inte att faktorisera med reella faktorer. x² + 1 är ett exempel: grafen är en parabel som ligger helt ovanför x-axeln.

Med komplexa tal går det alltid, men inom de reella talen är svaret att polynomet är irreducibelt.

Andra faktoriseringsmetoder

Bryta ut gemensam faktor: 3x² + 6x blir 3x(x + 2). Gör alltid detta först.
Konjugatregeln baklänges: x² − 9 blir (x + 3)(x − 3) direkt.
Kvadreringsregeln baklänges: x² + 6x + 9 blir (x + 3)².
Gissa faktorer: för x² + px + q med heltalslösningar söker du två tal med produkten q och summan p.

Ska du dividera bort en känd faktor ur ett polynom av högre grad använder du polynomdivision.

Fler algebrakalkylatorer finns i vår samling för algebra och ekvationer, där du bland annat kan lösa andragradsekvationer, ekvationssystem och olikheter.

Så beräknas faktorisering

Kvalitetssäkring

Alla kalkylatorer på miniräknare.se verifieras matematiskt med hjälp av det öppna mattebiblioteket math.js. Algebramotorerna är testade mot ett nittiotal fall, inklusive teckenvändning vid olikheter, dubbelrötter, komplexa lösningar, jämna rötter ur negativa tal och polynomdivision med rest. Läs mer om hur vi kvalitetssäkrar våra beräkningar på vår metodsida.

Vanliga frågor

Hur faktoriserar man ett andragradspolynom?

Hitta nollställena, till exempel med pq-formeln, och skriv polynomet som a(x − r₁)(x − r₂). För x² − 5x + 6 med nollställena 3 och 2 blir det (x − 3)(x − 2).

Varför går alla polynom inte att faktorisera?

Saknar polynomet reella nollställen, alltså när diskriminanten är negativ, finns inga reella faktorer. x² + 1 är ett sådant fall.

Vad betyder det att bryta ut en gemensam faktor?

Att dividera bort en faktor som finns i alla termer. 3x² + 6x blir 3x(x + 2). Det är alltid första steget vid faktorisering.

Hur hittar man faktorer genom att gissa?

För x² + px + q med heltalslösningar söker du två tal vars produkt är q och vars summa är p. För x² − 5x + 6 är det 2 och 3.

Varför är faktoriserad form användbar?

Eftersom en produkt är noll bara när någon faktor är noll. Nollställena kan därför läsas av direkt, och uttrycket blir lättare att förkorta i bråk.

Faktorisering av andragradspolynom