Fyll i koefficienterna för de två ekvationerna. Kalkylatorn räknar ut determinanten, löser systemet och förklarar vad resultatet betyder geometriskt.
Ekvationssystem
Lös två ekvationer med två obekanta
Lösningx = 3, y = 2
Ekvation 1x + y = 5
Ekvation 2x − −y = 1
Determinant−2
GeometrisktLinjerna skär varandra i en punkt
Så räknar du steg för steg
Determinanten: 1×−1 − 1×1 = −2
Determinanten är skild från noll, så det finns exakt en lösning
x: (5×−1 − 1×1) / −2 = 3
y: (1×1 − 1×5) / −2 = 2
Kontroll: sätt in värdena i ekvation 1 och du får 5, vilket ska vara 5. Metoden här kallas Cramers regel, men substitution och addition ger samma svar.
Formel
Determinant = a₁b₂ − a₂b₁. x = (c₁b₂ − c₂b₁) / det, y = (a₁c₂ − a₂c₁) / det
Dina värden
Ekvation 1
x + y = 5
Ekvation 2
x − −y = 1
Determinant
−2
Lösningx = 3, y = 2
Tre möjliga utfall
Varje ekvation med två obekanta beskriver en linje. Att lösa systemet är att hitta
var linjerna möts, och det finns tre möjligheter:
En lösning: linjerna skär varandra i en punkt. Determinanten är
skild från noll.
Ingen lösning: linjerna är parallella och möts aldrig.
Determinanten är noll.
Oändligt många lösningar: linjerna sammanfaller – det är samma
linje skriven på två sätt. Determinanten är noll och ekvationerna är
proportionella.
Exempel
Lös systemet x + y = 5 och x − y = 1:
Determinanten: 1 × (−1) − 1 × 1 = −2, alltså skild från noll
x: (5 × (−1) − 1 × 1) / (−2) = (−6) / (−2) = 3
y: (1 × 1 − 1 × 5) / (−2) = (−4) / (−2) = 2
Kontroll: 3 + 2 = 5 och 3 − 2 = 1. Stämmer
Tre metoder, samma svar
Substitution: lös ut en variabel ur en ekvation och sätt in i den
andra. Fungerar bra när en koefficient är 1.
Addition: multiplicera ekvationerna så att en variabel försvinner
när du adderar dem. Kallas också elimination.
Determinanter: använd formlerna direkt, vilket är vad kalkylatorn
gör. Metoden kallas Cramers regel och är snabbast när koefficienterna är otympliga.
Alla tre ger samma svar. Substitution och addition visar mer av räkningen och är
därför vanligare i skolan.
Alla kalkylatorer på miniräknare.se verifieras matematiskt med hjälp av det öppna
mattebiblioteket math.js. Algebramotorerna är testade mot ett nittiotal fall,
inklusive teckenvändning vid olikheter, dubbelrötter, komplexa lösningar, jämna
rötter ur negativa tal och polynomdivision med rest. Läs mer om hur vi
kvalitetssäkrar våra beräkningar på vår metodsida.
Vanliga frågor
Hur löser man ett ekvationssystem?
Med substitution, addition eller determinanter. Substitution innebär att du löser ut en variabel och sätter in den i den andra ekvationen.
Vad är determinanten?
Talet a₁b₂ − a₂b₁. Är den skild från noll finns exakt en lösning. Är den noll är linjerna parallella eller sammanfallande.
Varför saknar ett system ibland lösning?
När linjerna är parallella möts de aldrig. Det syns på att determinanten är noll men ekvationerna inte är proportionella.
När finns oändligt många lösningar?
När de två ekvationerna beskriver samma linje, alltså när den ena är den andra multiplicerad med en konstant. Varje punkt på linjen är då en lösning.
Vilken metod är bäst?
Substitution när någon koefficient är 1, addition när variablerna lätt kan elimineras, och determinanter när koefficienterna är otympliga. Alla ger samma svar.