Andragradsekvation

Lös med pq-formeln och se varje steg

a (koefficient framför x²)

Är a något annat än 1 normaliserar kalkylatorn ekvationen åt dig

b (koefficient framför x)

c (konstant)

Lösningarx₁ = 3, x₂ = 2

Diskriminant (p/2)² − q0,25

Vertex, parabelns extrempunkt(2,5, −0,25)

Så räknar du steg för steg

Halva p: p/2 = −2,5
Diskriminanten: (−2,5)² − 6 = 0,25
Två lösningar: x = 2,5 ± 0,5

Diskriminanten avgör antalet lösningar: positiv ger två, noll ger en dubbelrot och negativ ger inga reella. Det går alltså att svara på hur många lösningar ekvationen har utan att räkna ut dem.

Formel

x = −p/2 ± √((p/2)² − q), där ekvationen skrivs x² + px + q = 0

Dina värden

a: 1
b: −5
c: 6
p: −5
q: 6
Diskriminant: 0,25

Lösningarx₁ = 3, x₂ = 2

pq-formeln

Formeln gäller ekvationer på formen x² + px + q = 0:

x = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Står det en koefficient framför x² måste du normalisera först, alltså dividera hela ekvationen med den. Kalkylatorn gör det automatiskt, och det är ett av de steg som oftast glöms.

Diskriminanten avgör antalet lösningar

Uttrycket under rottecknet, (p/2)² − q, kallas diskriminanten. Den svarar på hur många lösningar ekvationen har innan du räknat ut dem:

Positiv: två olika reella lösningar. Parabeln skär x-axeln i två punkter
Noll: en dubbelrot. Parabeln tangerar x-axeln
Negativ: inga reella lösningar. Parabeln skär aldrig x-axeln

Exempel

Lös x² − 5x + 6 = 0:

p = −5 och q = 6
Halva p: −5/2 = −2,5
Diskriminanten: (−2,5)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25
Roten ur: √0,25 = 0,5
Lösningarna: x = 2,5 ± 0,5, alltså x₁ = 3 och x₂ = 2

Kontrollera alltid

Summan av lösningarna är alltid −p och produkten alltid q. I exemplet: 3 + 2 = 5 = −(−5) och 3 × 2 = 6. Det är en snabb kontroll som fångar de flesta räknefel.

Vill du i stället skriva om uttrycket till kvadratform använder du kvadratkomplettering, som är metoden pq-formeln bygger på. Ska du faktorisera polynomet finns faktoriseringskalkylatorn.

Fler algebrakalkylatorer finns i vår samling för algebra och ekvationer, där du bland annat kan lösa andragradsekvationer, ekvationssystem och olikheter.

Så beräknas andragradsekvationer

Kvalitetssäkring

Alla kalkylatorer på miniräknare.se verifieras matematiskt med hjälp av det öppna mattebiblioteket math.js. Algebramotorerna är testade mot ett nittiotal fall, inklusive teckenvändning vid olikheter, dubbelrötter, komplexa lösningar, jämna rötter ur negativa tal och polynomdivision med rest. Läs mer om hur vi kvalitetssäkrar våra beräkningar på vår metodsida.

Vanliga frågor

Hur fungerar pq-formeln?

För x² + px + q = 0 är lösningarna x = −p/2 plus eller minus roten ur ((p/2)² − q). Halva p med omvänt tecken, plus eller minus roten ur diskriminanten.

Vad gör jag om det står en koefficient framför x²?

Dividera hela ekvationen med den först. 2x² − 4x − 6 = 0 blir x² − 2x − 3 = 0, och då kan pq-formeln användas.

Vad är diskriminanten?

Uttrycket under rottecknet, (p/2)² − q. Är den positiv finns två lösningar, är den noll finns en dubbelrot och är den negativ finns inga reella lösningar.

Varför saknar en ekvation ibland lösning?

När diskriminanten är negativ måste du ta roten ur ett negativt tal, vilket inte går bland de reella talen. Grafiskt betyder det att parabeln aldrig skär x-axeln.

Hur kontrollerar man svaret?

Summan av lösningarna ska vara minus p och produkten ska vara q. För x² − 5x + 6 = 0 med lösningarna 3 och 2 gäller 3 + 2 = 5 och 3 × 2 = 6.

Andragradsekvation – lös med pq-formeln