Kvadratkomplettering steg för steg

Vad kvadratkomplettering gör

Metoden skriver om x² + px + q till formen (x + p/2)² − (p/2)² + q. Uttrycket har samma värde, men nu står x bara på ett ställe, inuti en kvadrat.

Det är användbart eftersom en kvadrat aldrig kan bli negativ. Uttryckets minsta värde är därför konstanten utanför parentesen, och det nås när parentesen är noll.

Exempel

Kvadratkomplettera x² + 6x + 5:

1. Halva p: 6 / 2 = 3
2. Bilda kvadraten: (x + 3)², som utvecklad är x² + 6x + 9
3. Dra bort överskottet: kvadraten gav 9 för mycket
4. Lägg till q: −9 + 5 = −4
5. Svar: (x + 3)² − 4

Vertex ligger i (−3, −4), och uttryckets minsta värde är −4.

Därför fungerar pq-formeln

pq-formeln är kvadratkomplettering utförd på den allmänna ekvationen. Utgå från x² + px + q = 0, kvadratkomplettera och lös ut x:

1. (x + p/2)² − (p/2)² + q = 0
2. (x + p/2)² = (p/2)² − q
3. x + p/2 = ±√((p/2)² − q)
4. x = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Det är precis pq-formeln. Att förstå kvadratkomplettering är alltså att förstå varför formeln ser ut som den gör.

Koefficient framför x²

Står det en koefficient framför x² bryter du ut den först. 2x² + 8x + 6 blir 2(x² + 4x + 3), varefter du kvadratkompletterar parentesen och multiplicerar tillbaka.

Fler algebrakalkylatorer finns i vår samling för algebra och ekvationer, där du bland annat kan lösa andragradsekvationer, ekvationssystem och olikheter.

Så beräknas kvadratkomplettering

Kvalitetssäkring

Alla kalkylatorer på miniräknare.se verifieras matematiskt med hjälp av det öppna mattebiblioteket math.js. Algebramotorerna är testade mot ett nittiotal fall, inklusive teckenvändning vid olikheter, dubbelrötter, komplexa lösningar, jämna rötter ur negativa tal och polynomdivision med rest. Läs mer om hur vi kvalitetssäkrar våra beräkningar på vår metodsida.